浙江大学2009年数学分析考研试题第7题参考解答

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题目. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$上 可导, 导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调下降, 且 $f'(b)>0$. 证明: \[ \sev{\int\limits_a^b\cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{f'(b)}. \]

证明: 由换元法及积分第二中值定理, $$\beex \bea \int_a^b \cos f(x)\rd x &=\int_{f(a)}^{f(b)} \frac{\cos y\rd y}{f'(f^{-1}(y))}\\ &=\frac{1}{f'(a)}\int_{f(a)}^\xi\cos y\rd y +\frac{1}{f'(b)}\int_\xi^{f(b)}\cos y\rd y\\ &=\frac{\sin\xi -\sin f(a)}{f'(a)} +\frac{\sin f(b)-\sin \xi}{f'(b)}\\ &\equiv I_1+I_2. \eea \eeex$$ 若 $I_1\cdot I_2\geq 0$, 则 $$\bex \sev{\int_a^b \cos f(x)\rd x} \leq \frac{\sev{\sin f(a)-\sin f(b)}}{f'(b)} \leq\frac{2}{f'(b)}; \eex$$ 若 $I_1\cdot I_2<0$, 则 $$\bex \sev{\int_a^b \cos f(x)\rd x} \leq \max\sed{\frac{\sev{\sin \xi-\sin f(a)}}{f'(a)},\frac{\sev{\sin f(b)-\sin \xi}}{f'(b)}} \leq\frac{2}{f'(b)}. \eex$$ 

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依旧涨幅很大,最高66%!又有多所大学公布考研报名人数

发布时间:2022-11-23 考研
前段时间我统计了一些今年公布考研报名人数的大学,其中很多大学的报考人数都是上涨的:多所大学2023考研报名人数创新高!最高增幅近40%!最近又有多所大学公布了23考研的报考人数,也基本上都是上涨的。北京科技大学https://yzxc.ustb.edu.cn/yzxc/yzxj/yzxcdt/8543514457b74184a3aa9eda8ae0abed.htm2023年硕士研究生招生考试北京科...

浙江大学2015年数学分析考研试题

发布时间:2014-12-30 2015 考研
1.求极限$$\bex\vlm{n}\dfrac{(n^2+1)(n^2+2)\cdots(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)\cdots(n^2-n)}.\eex$$ 2.求$$\bex\lim_{x\to0^+}\sez{\frac{1}{x^5}\int_0^xe^{-t^2}\rdt+\frac{1}{3}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^4}}.\eex$$  ...